01高中数学《函数 y=Asin(wx+φ)的图象》国家级示范校成果展示课例视频(2023年)

　　说话人 1

　　我们知道单位圆上的点以 10 为起点，让以单位速度按逆时针方向运动及运动规律可以用三角函数来刻画。那么对于一个一般的元素圆周运动，我们可以用怎样的数学模型来刻画它呢?下面我们一起来看一个实际问题。

　　说话人 1

　　桶车是我国古代发明的一种灌溉工具，距今已经有 1, 000 多年的历史，因其经济用环保，至今仍然使用在农业生产当中。请大家注意观察桶车上的敞水桶做怎样的运动?越来越多，那说如果我假定水流量稳定的情况下，桶车上的每个盛水桶都做匀速圆轴运动，你能用一个合适的函数模型来刻画盛水桶距离水面的相对高度与时间之间的关系吗?我们会想到哪个海触默器三角函数，对吧啊?那么我们统称的运动是具有周期性的，因此我们可以考虑用三角函数模型来刻画它的运动规律。

　　说话人 1

　　下面首先我们将这个实际问题进行一个数学抽象，我们将统车抽象成一个几何图形圆桶，车上的盛水桶抽象为一个点，圆上一点，那我们设 t 等于 0 时，盛水桶的初始位置在点P0，经过时间 p 秒之后，按逆时针方向运用到了点p。那么思考下面这个问题，盛水桶距离水面的高度与哪些量有关?我们想想看与哪些量有关?一起说快进，好，看到大家是有了一些想法的，那我们找一个同学来给大家说一下吧。来，谁愿意给大家说一下?看来蒋群同学。

　　说话人 2

　　吕半径、时间角、速度和初始。

　　说话人 1

　　位置有关，他认为和这些量是有关的，非常好，请坐。那其他同学还有没有补充的?他提到了什么?我们来梳理一下，看你看是不是和桶车的半径，对吧?初始位置，桶车的转动的角速度，对吧?还和我们时间 t 有关，那假定我们初始位置所对应的这个角是five，那根据我们角速度，我设角速度是Omega。经过时间 t 秒之后，我们转过的角度是多少?那说明我们转过的角这个角是奥米格称t，那么以 OP 为中边的这个角就是多少度了?以 OP 为主要，哎，应该是多少?再说一遍 Omega t 加法 i 它应该是 Omega t 加法，这样的话我们把这些量相关量是不都找出来了?那你能不能建立他们之间的一个关系式?下面我们给一点时间，大家可以讨论一下你们预习的结果，然后所以不知道带来。

　　说话人 1

　　噢，我刚才看了一下，我们同学昨天预习的还是比较充分的，那下面我们请田佳琪同学上来分享一下他所建立的数学模型。

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　　我们可以先以点 o 为坐标原点，依于水平面平行的直线为 x 轴建立一个直角坐标系，那么当 t 等于 0 秒时，沉水桶位于 P 0点。以 OX 为时间，以 OP 0 为桌面的角度发，当运动了 t 秒后，沉水捅归于t，所以以 OX 为时边，以 OP 为中边的角，就是我们应该提前fine，那么我们可以得到 why 等于 are 倍的sin，我们应该提前fine，又因为这个沉睡同学是 y 加小h，所以我们可以得到 y h 等于 r b 的sign，我们应该 t 加 y 再加小h。以上就是我建立的数据函数模型，谢谢大家。

　　说话人 1

　　我们再来看一下我们田安琪同学建立的这个函数模型，来看一下跟我们同学所建立的模型一样不一样。好好，那我把这个推出来啊。那么函数 2 就是我们所建立的一个函数关系，那么我们只要研究清楚函数 2 的图像与性质，就可以很好的把握追筒的用农规律，那么再注意我们函数 2 这个函数解析式，那在这里我们小 h 是一个常量，对吧?那因此我只需要研究清楚函数一的性质哎，就可以了。那通常情况下，我们将函数一记作 y 等于。 a 倍的 sin Omega s 加Fi，其中 a 大于0， Omega 大于0，那么小结一下刚才我们如何构造出这个函数的?no。

　　说话人 1

　　首先我们是从一个实际问题出发，通过抽象转化为了一个数学问题，然后引入构建了三角函数模型，那我们把这个过程来记下来。

　　说话人 1

　　那么我们得到了一个新的函数模型， y 等于 A3 引 Omega x 加fan。那么根据我们前面研究幂函数、指数函数、对数函数的经验，接下来我应该研究什么?你看我已经知道他的。唉，很好，我已经知道了他的背景，得到了他的解析室，下一步我应该研究他的性质，它的图像和性质，最后我就可以应用。那么再来观察这个函数的解析式，我们函数当中含有 3 个不同的参数类比以往我们研究函数的经验，对于含有多个参数的函数，你认为应该按照怎样的思路进行研究呢?哈哈哈，我们初中的时候是不是学过，对吧?好，控制变量。那现在我有三个参数，如何进行控制呢?我想到控制可以控制其中几个，哈哈哈，我可以控制其中两个，让一个变动，对吧?那我控制两个，让一个变动。我有几种方案。

　　说话人 1

　　三种方案。有哪三种方案我们可以控谁啊?我可以先控制 a 和Omega，对吧?让 Fi 去变动，对吧?或者可以控制，还可以控制 a 和five，对吧?比如说我先控制 a 和five，让 Omega 去变动，对吧?那第三种还可以怎么办?OK，控制 Omega 和fine，让 h 活动啊。

　　说话人 1

　　那因此我有这样三种研究思路，那我们从中选一种，唉，我们进行研究，那大家注意看一下我们选哪一种方案?两种，第一种是跟我们以前学过的平移变换有点相似，有点，那我们选择第一种，那我就来控制 a 和Omega，也就说让这两个值先确定下来，那我让 a 取一 Omega 取一，此时函数的解析式就是 y 等于 sine x 加范。

　　说话人 1

　　那么我让 Fi 变动，我来探索一下 Fi 对函数 y 等于 sin x 加 Fi 的一个音响，那么结合刚才我们的桶车模型，那么 by 去不同值表示什么含义?想想我 five 表示的是什么桶车的初始位置，那么 five 取不同值就代表的是我们统车以不同的初始位置做匀速圆轴运动。

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　　now 思考一下我是否可以用 y 等于 sin x 的这个函数?我来研究 y 等于 sin x 加 y 的图像可不可以。那 y 等于 3 也 x 是什么情况? y 等于 3 也x，我们可以看成是我们动点m，以 Q0 为起点，此时的 Fi 就等于0，经过 x 秒后它运动到了点西。

　　说话人 1

　　那根据我们三角函数的知识，我们知道 p 点的纵坐标就是 sin x，那因此我以 x y 为坐标描点，就可以得到我们正弦函数的头像。那如果我取 five 等于 6 分之派，它表示什么意思呢?那应该是我们动点m，让以 Q1 为初始位置，那是我的角O 0 O Q 零 O1Q1 这个角是 6 分之派，那说我质点是以 Q1 为起点，让逆时针方向运动，角速度是一，那么经过 x 秒后运动到 p 顶，请问 p 点的纵坐标是多少?往前来看 p 点的纵坐标跟谁有关?跟哪个交易混是不跟 OPI OP 这条中边所对的交易观，那因此它的纵坐标应该是什么? sign 3 页大点声说 3 页很好，应该是 sin x 加 6 分之态啊。那如果此时注意看我以 x y 为坐标描点j，那么点这个轨迹对应的函数的解析式是什么?那它就是 y 等于 3 引 x 加 6 分之派，那下面我们来做出这个函数的图像啊。